Question

7．若函數(shù)f（x）=lnx+（x-b）²（b∈R）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{3}{2}$）
• B． （-∞，$\frac{9}{4}$）
• C． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）
• D． （$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 利用導函數(shù)得到不等式恒成立，然后求解b的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在單調(diào)增區(qū)間，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在子區(qū)間使得不等式f′（x）＞0成立．
f′（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{x}$+2（x-b）]=$\frac{{2x}^{2}-2bx+1}{x}$，
設h（x）=2x²-2bx+1，則h（2）＞0或h（$\frac{1}{2}$）＞0，
即8-4b+1＞0或$\frac{1}{2}$-b+1＞0，
得b＜$\frac{9}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)恒成立，考查轉化思想，不等式的解法，考查計算能力．