Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，點（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與直線y=kx+m相交于不同的兩點M，N，點D（0，-1），當|DM|=|DN|時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓C的標準方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點坐標公式求出MN中點的坐標，再由斜率關(guān)系得到m與k的關(guān)系，代入判別式大于0求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意知：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{b-0}{0-1}•\frac{-b-0}{0-1}=-1}\end{array}\right.$，解得：a²=3，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消y得：（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）=12（3k²-m²+1）＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3（{m^2}-1）}}{{3{k^2}+1}}$，
設(shè)MN中點E（x₀，y₀），則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{m}{{3{k^2}+1}}$，
∵D（0，-1），且|DM|=|DN|，∴DE⊥MN，則k_DE•k=-1，
∵${k_{DE}}=\frac{{\frac{m}{{3{k^2}+1}}+1}}{{-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}-0}}=\frac{{m+3{k^2}+1}}{-3km}=-\frac{1}{k}$，∴3k²+1=2m，
代入△=12（3k²-m²+1）＞0，知m²-2m＜0，解得0＜m＜2．
綜上：符合條件的實數(shù)m的取值范圍是（0，2）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．