Question

12．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（Ⅰ）證明：DN∥平面PMB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中點G，連接DG、NG，由N為PC中點，可得NG∥PB，進一步得到NG∥平面PMB，再由已知可得四邊形BGDM為平行四邊形，得DG∥MB，則DG∥平面PMB，由面面平行的判定可得平面DNG∥平面PMB，則DN∥平面PMB；
（2）由底面ABCD為平行四邊形，且∠A=60°，得△ABD為正三角形，取AB中點H，連接DH，PH，結合PD⊥底面ABCD，可得∠PHD為二面角P-AB-D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P-AB-D的余弦值．

解答 （1）證明：如圖，
取BC中點G，連接DG、NG，∵N為PC中點，∴NG∥PB，則NG∥平面PMB，
∵AD∥BC，M為AD的中點，G為BC的中點，
∴MD∥BG，MD=BG，∴四邊形BGDM為平行四邊形，則DG∥MB，則DG∥平面PMB，
又NG∩DG=G，∴平面DNG∥平面PMB．
則DN∥平面PMB；
（2）解：∵底面ABCD為平行四邊形，且∠A=60°，則△ABD為正三角形，
取AB中點H，連接DH，PH，∴DH⊥AB，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB，則AB⊥平面PDH，∴∠PHD為二面角P-AB-D的平面角．
設PD=CD=a，則DH=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，∴PH=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，
則cos∠PHD=$\frac{DH}{PH}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{7}}{2}a}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角P-AB-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，正確找出二面角的平面角是解答該題的關鍵，是中檔題．