設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=-（x-1）2+2（a-1）ln（x+1）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=4x-1，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜1時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)f′（0）=4建立等式關(guān)系，求出a的值即可；
（II）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對a進(jìn)行分類討論，分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），
f′(x)=-2x+2+=
因為f′（0）=4，所以a=2．
（Ⅱ）解：當(dāng)a＜0時，因為x+1＞0，-2x
2+2a＜0
所以f′（x）＜0，故f（x）（-1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a=0時，當(dāng)x∈（-1，0）時，
f′(x)=＜0，故f（x）在（-1，0上是減函數(shù)，
x∈（0，+∞）時，
f′(x)=＜0，故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
因為函數(shù)f（x）在（-1，+∞），上連續(xù)，所以f（x）在（-1，+∞），上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，
f′(x)==0，得x=
，或x=
-x變化時，f′（x），f（x）的變化如情況下表：
| x |
(-1，-) |
- |
(-，) |
|
(，+∞) |
| f′（x） |
_ |
0 |
+ |
0 |
_ |
| f（x） |
↓ |
極小f( -) |
↑ |
極大f() |
↓ |
所以f（x）在
(-1，-)上為減函數(shù)、
(，+∞)上為減函數(shù)；f（x）
(-，)上為增函數(shù)．（13分）
綜上，a≤0時，f（x）在（-1，+∞），上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）
(-1，-)上為減函數(shù)、
(，+∞)上為減函數(shù)；f（x）
(-，)上為增函數(shù)．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程的斜率，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
