Question

13．設(shè)雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A為雙曲線上的一點，且F₁F₂⊥AF₂，若直線AF₁與圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{9}$相切，在雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 求出直線AF₁的方程，利用直線AF₁與圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{9}$相切，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，F(xiàn)₁（0，c），F(xiàn)₂（0，-c），則A（$\frac{^{2}}{a}$，-c），
∴直線AF₁的方程為y-c=-$\frac{2ac}{^{2}}$x，即2acx+b²y-b²c=0，
∵直線AF₁與圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{9}$相切，
∴$\frac{^{2}c}{\sqrt{4{a}^{2}{c}^{2}+^{4}}}$=$\frac{c}{3}$，
∴$\sqrt{2}^{2}$=ac，
∴$\sqrt{2}{e}^{2}-e-\sqrt{2}$=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．