Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{3}{2}$，a_n+1=3a_n-1（n∈N₊）．
（1）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={a_n}-\frac{1}{2}$，求證：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由原式兩邊減$\frac{1}{2}$，整理并結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到．

解答 解：（1）證明：由數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{3}{2}$，a_n+1=3a_n-1（n∈N₊）．
可知${a_{n+1}}-\frac{1}{2}=3（{a_n}-\frac{1}{2}）（n∈{N^*}）$，
從而有b_n+1=3b_n，${b_1}={a_1}-\frac{1}{2}=1$，
所以{b_n}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知${b_n}={3^{n-1}}$，
從而${a_n}={3^{n-1}}+\frac{1}{2}$，
有前n項和S_n=（1+3+9+…+3^n-1）+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{{3}^{n}+n-1}{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式和求和公式，以及構(gòu)造數(shù)列法，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運算和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．