Question

已知圓C的圓心在直線y=-2x上，且與直線2x+y-5=0相切于點(diǎn)（1，3）．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)（-2，

5

2

）的直線l截圓C所得弦長(zhǎng)為4，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)P₀（x₀，y₀）在圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²上，則圓在P₀（x₀，y₀）處的切線方程為l：（x-x₀）（x-a）+（y-y₀）（y₀-b）=r²，由此能求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，符合條件；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為kx-y+2k+

5

2

=0，由過點(diǎn)（-2，

5

2

）的直線l截圓C所得弦長(zhǎng)為4，得圓心（-1，2）到直線l的距離d=

5-4

=1，由此能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)P₀（x₀，y₀）在圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²上，
則圓在P₀（x₀，y₀）處的切線方程為l：（x-x₀）（x-a）+（y-y₀）（y₀-b）=r²，
∵直線2x+y-5=0相切于點(diǎn)（1，3）．
∴r²=5，①且（1-a）²+（3-b）²=r²，②
∵圓C的圓心C（a，b）在直線y=-2x上，
∴b=-2a，③
聯(lián)立①②③，得（a+1）²=0，
解得a=-1，b=2，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-2）²=5．
（2）當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，
此時(shí)直線與圓C的交點(diǎn)為（-2，0），（-2，4），
直線l截圓C所得弦長(zhǎng)為4，符合條件；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-

5

2

=k（x+2），即kx-y+2k+

5

2

=0，
∵過點(diǎn)（-2，

5

2

）的直線l截圓C所得弦長(zhǎng)為4，
∴圓心（-1，2）到直線l的距離d=

5-4

=1，
∴

|-k-2+2k+ 5 2 |

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
∴直線l的方程為

3

4

x-y+2×

3

4

+

5

2

=0，整理得3x-4y+16=0，
綜上所述，直線l的方程為：x=-2或3x-4y+16=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程與直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．