Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+2

，b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{

bn

an

}的前n項和T_n，問是否存在正整數(shù)m、M，且M-n=3，使得m＜T_n＜M對一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m、M的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把數(shù)列遞推式取倒數(shù)，整理得到數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，求出首項和公差，得到其通項公式，則數(shù)列
{a_n}的通項公式可求，再由b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n，取n=n-1得另一遞推式，作差后可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式代入

bn

an

，利用錯位相減法求前n項和T_n，由單調性結合放縮法證得答案．

解答： 解：（1）由a_n+1=

2an

an+2

，得

1

an+1

=

an+2

2an

=

1

2

+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

．
∴數(shù)列{

1

an

}是首項為

1

a1

=

3

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
∴

1

an

=

3

2

+(n-1)•

1

2

=

n+2

2

，即an=

2

n+2

．
∵b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n  ①，
∴b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1=n-1 （n≥2）②．  
①-②得2^n-1b_n=1，即bn=

1

2n-1

(n≥2)．
由①知，b₁=1也滿足上式，故bn=

1

2n-1

；
（2）由（1）知，

bn

an

=

n+2

2n

，下面用“錯位相減法”求T_n．
Tn=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

       ③，

1

2

Tn=

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

+

n+2

2n+1

  ④．
③-④得

1

2

Tn=

3

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+2

2n+1

=2-

n+4

2n+1

，
∴Tn=4-

n+4

2n

＜4．
又

an

bn

＞0，則數(shù)列{T_n}單調遞增，故Tn≥T1=

3

2

＞1，從而1＜T_n＜4．
因此，存在正整數(shù)m=1、M=4且M-m=3，使得m＜T_m＜M對一切n∈N^*恒成立．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．