13.橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1和雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1共同焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,若P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),則$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$的值為11.

分析 設(shè)P在雙曲線的右支上,再根據(jù)點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合定義求出|PF1|與|PF2|的表達(dá)式,結(jié)合向量數(shù)量積的定義即可求出PF1•PF2的值.

解答 解:因?yàn)闄E圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1和雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1有共同的焦點(diǎn)F1、F2,
所以c=3;橢圓中的a=5,雙曲線中的a'=2,
設(shè)P在雙曲線的右支上,左右焦點(diǎn)F1、F2
利用橢圓以及雙曲線的定義可得:|PF1|+|PF2|=2a=10  ①
|PF1|-|PF2|=2a'=4  ②
由①②得:|PF1|=7,|PF2|=3.|F1F2|=2c=6,
則cos<$\overrightarrow{P{F_1}}$,$\overrightarrow{P{F_2}}$>=$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|}$=$\frac{49+9-36}{2×7×3}=\frac{22}{42}$=$\frac{11}{21}$
則$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=|$\overrightarrow{P{F_1}}$|•|$\overrightarrow{P{F_2}}$|cos<$\overrightarrow{P{F_1}}$,$\overrightarrow{P{F_2}}$>=7×3×$\frac{11}{21}$=11
故答案為:11.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算,根據(jù)雙曲線和橢圓的定義是解決本題的關(guān)鍵.

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