Question

13．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線與圓：（x-3）²+y²=1都相切，則雙曲線C的離心率是$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件：d=r，可得a²=8b²，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
圓：（x-3）²+y²=1的圓心為（3，0），半徑為1，
由直線和圓相切的條件可得，d=$\frac{3b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
化為a²=8b²，
由b²=c²-a²，可得8c²=9a²，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{8}$，
可得e=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．