Question

18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+$\frac{1}{2}$，面積S滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，給出下列說法：
①bc（b+c）＞8②ab（a+b）＞16$\sqrt{2}$③6≤abc≤12④12≤abc≤24
其中不正確的是②③④（填出所有符合要求的序號）．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理和三角形的面積公式，利用不等式的性質(zhì) 進行證明即可得到結論．

解答 解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+$\frac{1}{2}$，
∴sin2A+sin2B=-sin2C+$\frac{1}{2}$，
∴sin2A+sin2B+sin2C=$\frac{1}{2}$，
∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B-C）=$\frac{1}{2}$，
2sinA（cos（B-C）-cos（B+C））=$\frac{1}{2}$，
化為2sinA[-2sinBsin（-C）]=$\frac{1}{2}$，
∴sinAsinBsinC=$\frac{1}{8}$．
設外接圓的半徑為R，
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
由S=$\frac{1}{2}absinC$，及正弦定理得sinAsinBsinC=$\frac{S}{2{R}^{2}}$=$\frac{1}{8}$，
即R²=4S，
∵面積S滿足1≤S≤2，
∴4≤R²≤8，即2≤R≤$2\sqrt{2}$，
由sinAsinBsinC=$\frac{1}{8}$可得$8≤abc≤16\sqrt{2}$，故③④錯誤，
bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，故①正確，
ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16$\sqrt{2}$，不一定正確，故②錯誤
故答案為：②③④．

點評 本題考查了兩角和差化積公式、正弦定理、三角形的面積計算公式、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．