Question

5．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面ADD₁A₁和側(cè)面CDD₁C₁都是矩形，BC∥AD，△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，A₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（2）若CF∥平面A₁BE，求棱BC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由題意可得DD₁⊥AD，且DD₁⊥CD，得到DD₁⊥平面ABCD，則BE⊥DD₁．再由∵△ABD是正三角形，且E為AD中點(diǎn)，得BE⊥AD．由線面垂直的判定可得BE⊥平面ADD₁A₁．再由面面垂直的判定得平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（2）由題意證明四邊形BCFA₁是平行四邊形，即可求得棱BC的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：∵側(cè)面ADD₁A₁和側(cè)面CDD₁C₁都是矩形，
∴DD₁⊥AD，且DD₁⊥CD，
又∵AD∩CD=D，
∴DD₁⊥平面ABCD，而B(niǎo)E?平面ABCD，
∴BE⊥DD₁．
∵△ABD是正三角形，且E為AD中點(diǎn)，
∴BE⊥AD．
又∵AD∩DD₁=D，
∴BE⊥平面ADD₁A₁．
而B(niǎo)E?平面A₁BE，
∴平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（2）解：∵BC∥AD，F(xiàn)為A₁D₁的中點(diǎn)，
∴BC∥A₁F．
∴B、C、F、A₁四點(diǎn)共面．
∵CF∥平面A₁BE，
而平面BCFA₁∩平面A₁BE=A₁B，
∴CF∥A₁B．
∴四邊形BCFA₁是平行四邊形．
則BC=A₁F=$\frac{1}{2}$AD=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、面面垂直，考查線面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．