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已知三棱錐O-ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=
10
，BC=
13
，AC=
5
，O，A，B，C四點均在球S的表面上，則球S的表面積為
 
．
分析：根據∠BOC=90°且OA⊥平面BOC，得到三棱錐的三條側棱兩兩垂直，以三條側棱為棱長得到一個長方體，由圓的對稱性知長方體的各個頂點都在這個球上，長方體的體積就是圓的直徑，求出直徑，得到圓的面積．
解答：解：∵∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，
∴三棱錐的三條側棱兩兩垂直，
∴可以以三條側棱為棱長得到一個長方體，
由圓的對稱性知長方體的各個頂點都在這個球上，
∴球的直徑是(2r)2 =
1
2
(10+13+5)，
∴球的半徑是
14
2

∴球的表面積是4π×(
14
2
)2=14π，
故答案為：14π
點評：本題考查球的體積與表面積，考查球與長方體之間的關系，考查三棱錐與長方體之間的關系，本題考查幾何中常用的一種叫補全圖形的方法來完成，本題非常值得一做．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知三棱錐O-ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩互相垂直，OC=1，OA=x，OB=y，若x+y=4，則三棱錐O-ABC體積的最大值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理科）已知三棱錐O-ABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點，則
MN
=
1
2
(
c
-
a
-
b
)
1
2
(
c
-
a
-
b
)
（結果用
a
，
b
，
c
表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐O-ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，D是BC的中點，E是OC的中點．
（Ⅰ） 求證：BC⊥平面OAD；
（Ⅱ） 求O點到面ABC的距離；
（Ⅲ）求異面直線BE與AC所成的角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•月湖區(qū)模擬）已知三棱錐O-ABC，OA、OB、OC兩兩垂直且長度均為6，長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在△OBC內運動（含邊界），則MN的中點P的軌跡與三棱錐的面OAB、OBC、OAC圍成的幾何體的體積為
π
6
π
6
．

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