Question

sin²C=sin²A+sin²B+sinA•sinB，
（1）求角C；（2）若△ABC的外接圓半徑是2時，求a+b的值．

Answer 1

解：（1）由sin²C=sin²A+sin²B+sinA•sinB，
利用正弦定理化簡得：c²=a²+b²+ab（*），
則根據(jù)余弦定理得：cosC==-，由C∈（0，180°），
得到：C=120°；
（2）∵c=2RsinC=2，又absinC=，∴ab=4，
把c的值代入（*）得：12=a²+b²+ab=（a+b）²-ab，
∴（a+b）²=16，
則a+b=4．
分析：（1）根據(jù)正弦定理化簡已知的等式得到一個關系式，記作（*），然后利用余弦定理表示出cosC，把（*）代入即可求出cosC的值，然后由C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由（1）求出的C的度數(shù)求出sinC的值，然后由sinC的值，利用△ABC的面積公式求出ab的值，又△ABC的外接圓半徑是2，根據(jù)正弦定理求出c的值，代入（*）化簡，配方后把ab的值代入即可求出a+b的值．
點評：解本題的關鍵是利用正弦定理化簡已知的等式．綜合考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式解決數(shù)學問題．本題的綜合性比較強，要求學生掌握知識全面．