Question

已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，當(dāng)n≥2時(shí)an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
（Ⅰ）當(dāng)a=100時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)的和S₁₀₀；
（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=100代入，先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的各項(xiàng)的特點(diǎn)，再分組求和即可；
（Ⅱ）先對(duì)a₁=a的取值分：①若0＜a₁≤3；②若a₁＞3兩種情況分別求出數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律，即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列a_n的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，
從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，
從而S₁₀₀=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132=1849．
（2）證明：①若0＜a₁≤3，則題意成立；
②若a₁＞3，此時(shí)數(shù)列a_n的前若干項(xiàng)滿足a_n-a_n-1=3，即a_n=a₁-3（n-1）．
設(shè)a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
從而，此時(shí)命題成立．
綜上：對(duì)于數(shù)列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題的第一問(wèn)主要考查數(shù)列求和的分組求和法．關(guān)鍵點(diǎn)在于利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的各項(xiàng)的特點(diǎn)，再分組求和即可．