Question

已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，當(dāng)n≥2時(shí)，，
（1）當(dāng)a=100時(shí)，填寫下列列表格：

n	2	3	35	100
an

（2）當(dāng)a=100時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)的和S₁₀₀；
（3）令，求證：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

解：（1）

n	2	3	35	100
an	97	94	3	1

（2）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，
從而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一組共34項(xiàng)，后一組共66項(xiàng)）
=
=1717+132
=1849．
（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65619.png' />，
所以，
當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k
=
=-
=-
=．
因?yàn)?＜a＜，所以，
當(dāng)n=2k-1，k∈N^*時(shí)，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1
=
＜．
所以．
分析：解：（1）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，由此能完成表格．
（2）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，從而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一組共34項(xiàng)，后一組共66項(xiàng)），由此能求出結(jié)果．
（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65619.png' />，所以，由此能夠證明當(dāng)時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．本題的易錯(cuò)點(diǎn)是不區(qū)分n的奇偶性，導(dǎo)致出錯(cuò)．