Question

已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，當(dāng)n≥2時(shí)，an=

an-1-3     (an-1＞3) 4-an-1    (an-1≤3)

，
（1）當(dāng)a=100時(shí)，填寫下列列表格：

n	2	3	35	100
an

（2）當(dāng)a=100時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)的和S₁₀₀；
（3）令bn=

an

(-2)n

，Tn=b1+b2+…+bn，求證：當(dāng)1＜a＜

4

3

時(shí)，Tn＜

4-3a

3

．

Answer 1

分析：解：（1）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，由此能完成表格．
（2）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，從而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一組共34項(xiàng)，后一組共66項(xiàng)），由此能求出結(jié)果．    
（3）當(dāng)1＜a＜

4

3

時(shí)，因?yàn)?span id="btdz13b" class="MathJye">an=

a，n為奇數(shù) 4-a，n為偶數(shù)

，所以bn=

an

(-2)n

=

- a 2 n ，n為奇數(shù) 4-a 2n ，n為偶數(shù)

，由此能夠證明當(dāng)1＜a＜

4

3

時(shí)，Tn＜

4-3a

3

．

解答：解：（1）

n	2	3	35	100
an	97	94	3	1

（2）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，
從而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一組共34項(xiàng)，后一組共66項(xiàng)）
=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132
=1849．                  
（3）當(dāng)1＜a＜

4

3

時(shí)，因?yàn)?span id="1rj1btv" class="MathJye">an=

a，n為奇數(shù) 4-a，n為偶數(shù)

，
所以bn=

an

(-2)n

=

- a 2 n ，n為奇數(shù) 4-a 2n ，n為偶數(shù)

，
當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k
=-

a

2

+

4-a

22

-

a

23

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

+

4-a

22k

=-(

a

2

+

a

23

+…+

a

22k-1

)+(

4-a

22

+

4-a

24

+…+

4-a

22k

)
=-

a 2 [1-( 1 4 )k ]

1- 1 4

+

4-a 4 [1-( 1 4 )k ]

1- 1 4

=

4-3a

3

[1-(

1

4

)k]．
因?yàn)?＜a＜

4

3

，所以

4-3a

3

[1-(

1

4

)k]＜

4-3a

3

，
當(dāng)n=2k-1，k∈N^*時(shí)，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1
=-

a

2

+

4-a

22

-

a

23

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

＜-

a

2

+

4-a

22

-

a

2 3

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

+

4-a

22k

＜

4-3a

3

．
所以Tn＜

4-3a

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．本題的易錯(cuò)點(diǎn)是不區(qū)分n的奇偶性，導(dǎo)致出錯(cuò)．