Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-3在x=1處取得極值，且在點（0，-3）處的切線與直線2x+y=0平行，設(shè)兩數(shù)g（x）=xf（x）+4x．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式，并求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax²+bx-3，知f′（x）=2ax+b．由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-3在x=1處取得極值，且在（0，-3）點處的切線與直線2x+y=0平行，得到關(guān)于a，b的方程組，由此能求出f（x），求出g（x）的表達(dá)式，從而求出g′（x），列表討論能求出函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx-3，
∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-3在x=1處取得極值，且在（0，-3）點處的切線與直線2x+y=0平行，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=2a+b=0}\\{f′（0）=b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x²-2x-3，
∴g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，
所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=1．

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值 $\frac{4}{27}$	↓	極小值0	↑

所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）．
（2）由（1）得：g（x）在[0，$\frac{1}{3}$]遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）遞減，在（1，2]遞增，
而g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，g（0）=0，g（1）=0，g（2）=2，
∴函數(shù)g（x）的最大值為2，最小值為0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)在求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．