Question

已知函數f（x）=2（

3

cosx-sinx）sinx，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期與單調增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數f（x）在[0，

π

4

]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的單調性,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：根據題意、二倍角的正弦、余弦公式、兩角和的正弦公式運算化簡f（x），
（Ⅰ）由三角函數的周期公式求出周期，再由正弦函數的單調遞增區(qū)間求出此函數的增區(qū)間；
（Ⅱ）由x的范圍求出求出2x+

π

6

的范圍，再由正弦函數的性質求出次函數的最大值、最小值．

解答： 解：由題意得，f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x+cos2x-1
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1=2sin(2x+

π

6

)-1，
（Ⅰ）f（x）的最小正周期為：T=

2π

2

=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得，
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ(k∈Z)，
所以函數f（x）的單調增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)；
（Ⅱ）因為0≤x≤

π

4

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
所以

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，即0≤2sin(2x+

π

6

)-1≤1，
所以0≤f（x）≤1，
當且僅當x=0時，f（x）取最小值f（x）_min=f（0）=0，
當且僅當2x+

π

6

=

π

2

時，即x=

π

6

時最大值f(x)max=f(

π

6

)=1．

點評：本題考查正弦函數的單調性、最值，以及三角恒等變換的公式的應用，考查了整體思想的應用．