Question

如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）求證：平面BDE⊥平面ACE；
（2）已知CE=1，點(diǎn)M為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線EM與平面ABCD所成角的最大值為

π

4

．
①求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
②在線段EO上是否存在一點(diǎn)G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出

EG

EO

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明BD⊥AC，BD⊥EC，從而證明平面BDE⊥平面ACE．
（2）由EC是平面ABCD的垂線，當(dāng)M為O點(diǎn)時(shí)，直線EM與平面ABCD所成角的最大，從而求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；當(dāng)G為EO中點(diǎn)時(shí)，存在CG⊥平面BDE．

解答： 解：（1）證明：∵底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，
∵EC⊥底面ABCD
∴BD⊥EC
∴BD⊥平面ACE，
∴平面BDE⊥平面ACE．
（2）①點(diǎn)M為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∵EC⊥底面ABCD
∴直線EM與平面ABCD所成角為∠EMC，tan∠EMC=

EC

CM

．
當(dāng)CM最小時(shí)，直線EM與平面ABCD所成角的最大，
當(dāng)BD⊥CM時(shí)，即M為O點(diǎn)時(shí)，直線EM與平面ABCD所成角的最大．
此時(shí)CO=1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

2

．
②存在，當(dāng)G為EO中點(diǎn)時(shí)，即

EG

EO

=

1

2

時(shí)，CG⊥平面BDE．
∴BD⊥平面ACE
∴BD⊥CG，
又∵△ECO為等腰三角形
∴CG⊥EO，
∴CG⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直、面面垂直、線面角等知識(shí)，屬于中檔題．