Question

拋物線頂點在坐標原點，焦點與橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的右焦點F重合，過點F斜率為2

2

的直線與拋物線交于A，B兩點．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可知，拋物線焦點F（1，0），由此能求出拋物線的方程．
（Ⅱ）直線AB的方程為y=2

2

(x-1)，聯(lián)立

y=2 2 (x-1) y2=4x

，得y2-

2

y-4=0，由此利用橢圓弦長公式能求出△AOB的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知，橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的右焦點F（1，0），
故拋物線焦點F（1，0），
所以拋物線的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）直線AB的方程為y=2

2

(x-1)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=2 2 (x-1) y2=4x

，
消去x，得y2-

2

y-4=0，…（6分）
y1+y2=

2

，y₁y₂=-4，
因為S△AOB=

1

2

•1•|y1-y2|=

|y1-y2|

2

…（9分）
由|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=3

2

…（11分）
所以S△AOB=

3 2

2

．…（12分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．