Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

=（2cos²x，1），

OB

=（a，

3

asin2x+1-a），a為非零常數(shù)．設(shè)y=

OA

•

OB

．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x）為

 

．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為3，求a的值并指出f（x）的單調(diào)增區(qū)間為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由數(shù)量積和三角函數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得f（x）；（2）由x∈[0，

π

2

]可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，分類討論可得答案．

解答： 解：（1）∵

OA

=（2cos²x，1），

OB

=（a，

3

asin2x+1-a），
∴f（x）=

OA

•

OB

=2acos²x+

3

asin2x+1-a
=a（2cos²x-1）+

3

asin2x+1
=acos2x+

3

asin2x+1
=2asin（2x+

π

6

）+1
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
當(dāng)a＞0時(shí)，2a+1=3，a=1，此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
當(dāng)a＜0時(shí)，-a+1=3，a=-2，此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
故答案為：f（x）=2asin（2x+

π

6

）+1；當(dāng)a＞0時(shí)，[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；當(dāng)a＜0時(shí)，[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．