Question

19．某超市五一促銷，隨機(jī)對(duì)10～60歲的人群抽查了n人，調(diào)查的每個(gè)人若能完整寫出5個(gè)或5個(gè)以上外國(guó)節(jié)日，則能獲得20元優(yōu)惠券的獎(jiǎng)勵(lì)，若能完整寫出8個(gè)或8個(gè)以上中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日就能獲得30元優(yōu)惠券，調(diào)查的每個(gè)人都同時(shí)回答了這兩個(gè)問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表
（Ⅰ）若以表中的頻率近似看作各年齡段回答問(wèn)題獲得優(yōu)惠劵的概率，組織者隨機(jī)請(qǐng)一個(gè)家庭中的兩名成員（大人42歲，孩子16歲）回答這兩個(gè)問(wèn)題，兩個(gè)調(diào)查相互獨(dú)立均無(wú)影響，分別寫出這個(gè)家庭兩個(gè)成員獲得獎(jiǎng)勵(lì)的分布列并求該家庭獲得獎(jiǎng)勵(lì)的期望；
（Ⅱ）求該家庭獲得獎(jiǎng)勵(lì)為50元優(yōu)惠券的概率．

年齡段	外國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日		中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日
	獲優(yōu)惠劵的人數(shù)	占本組人數(shù)頻率	獲優(yōu)惠券的人數(shù)	占本組人數(shù)頻率
[10，20）	30	a	30	0.5
[20，30）	48	0.8	36	0.6
[30，40）	36	0.6	48	0.8
[40，50）	20	0.5	24	b
[50，60]	4	0.2	16	0.8

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意：依題意得在[10，20）年齡段抽查了30÷0.5=60，在[40，50）10，20）年齡段抽查了20÷0.5=0.5，求出a，b，設(shè)孩子獲得獎(jiǎng)勵(lì)為ξ₁，大人獲得獎(jiǎng)勵(lì)為ξ₂，則ξ₁，ξ₂為隨機(jī)變量，求出分布列．再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．
（Ⅱ）該家庭獲得獎(jiǎng)勵(lì)為50元優(yōu)惠券包括“ξ₁=50且ξ₂=0”；“ξ₁=20且ξ₂=30”“ξ₁=30且ξ₂=20”“ξ₁=0且ξ₂
=50”四種情況，由ξ，η的分布列即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意得在[10，20）年齡段抽查了30÷0.5=60 
在[40，50）10，20）年齡段抽查了20÷0.5=0.5 
所以a=30÷60=0.5，b=24÷40=0.6，…2分
設(shè)孩子獲得獎(jiǎng)勵(lì)為ξ₁，大人獲得獎(jiǎng)勵(lì)為ξ₂，“ξ₁=0”表示小孩兩個(gè)調(diào)查都沒(méi)有獲得優(yōu)惠券
“ξ₁=20”表示小孩獲得20元優(yōu)惠券，但沒(méi)有獲得30優(yōu)惠劵
“ξ₁=30”表 示小孩沒(méi)有獲得20元優(yōu)惠券，但獲得30優(yōu)惠劵
“ξ₁=50”表示既獲得20元優(yōu)惠券，又獲得30優(yōu)惠劵
大人同理；則ξ₁，ξ₂為隨機(jī)變量，其分布列分別為：（各3分）

ξ	0	20	30	50
P（ξ）	0.25	0.25	0.25	0.25

η	0	20	30	50
P（η）	0.2	0.2	0.3	0.3

Eξ₁=25，Eξ₂=28  
該家庭獲得獎(jiǎng)勵(lì)的期望Eξ=Eξ₁+Eξ₂=53       9分
（Ⅱ）該家庭獲得獎(jiǎng)勵(lì)為50元優(yōu)惠券包括“ξ₁=50且ξ₂=0”；“ξ₁=20且ξ₂=30”“ξ₁=30且ξ₂=20”“ξ₁=0且ξ₂
=50”四種情況
P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25          12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，屬于中檔題．