【題目】如圖1,一藝術(shù)拱門由兩部分組成,下部為矩形,的長(zhǎng)分別為,上部是圓心為的劣弧,

1)求圖1中拱門最高點(diǎn)到地面的距離;

2)現(xiàn)欲以B點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門放倒,放倒過(guò)程中矩形所在的平面始終與地面垂直,如圖2、圖3、圖4所示.設(shè)與地面水平線所成的角為.記拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離為,試用的函數(shù)表示,并求出的最大值.

【答案】(1)拱門最高點(diǎn)到地面的距離為.(2),其最大值為

【解析】

(1)求出圓的半徑,結(jié)合圓和RT的性質(zhì)求出拱門最高點(diǎn)到地面的距離即可;

(2)通過(guò)討論P點(diǎn)所在的位置以及三角函數(shù)的性質(zhì)求出h的最大值即可.

1)如圖,過(guò)作與地面垂直的直線交于點(diǎn),交劣弧于點(diǎn)

長(zhǎng)即為拱門最高點(diǎn)到地面的距離.

中,,,

所以,圓的半徑

所以

答:拱門最高點(diǎn)到地面的距離為

2)在拱門放倒過(guò)程中,過(guò)點(diǎn)作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí),拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離等于圓的半徑長(zhǎng)與圓心到地面距離之和;

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離等于點(diǎn)到地面的距離.

由(1)知,在中,

為坐標(biāo)原點(diǎn),直線軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系.

當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí),

,

由三角函數(shù)定義,

所以當(dāng)時(shí),

取得最大值

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),.設(shè),在中,

,

,得

所以

又當(dāng)時(shí),

所以上遞增.

所以當(dāng)時(shí),取得最大值

因?yàn)?/span>,所以的最大值為

綜上,藝術(shù)拱門在放倒的過(guò)程中,拱門上的點(diǎn)到地面距離的最大值為(

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