Question

如圖，已知直線l與拋物線相切于點P(2,1)，且與軸交于點A，定點B的坐標為(2,0) ．

（1）若動點M滿足，求點M的軌跡C；

（2）若過點B的直線l（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（2）（,1）

【解析】

試題分析：（1）先對原函數(shù)求導(dǎo)，然后求出斜率，再利用 進行整理即可．

(2)先設(shè)方程為 與 聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式得到再由

得，即可

（1）由得, ∴．∴直線的斜率為，

故的方程為，∴點A的坐標為(1,0)． (2分)

設(shè),則(1,0),,，由

得，整理，得． (4分)

(2)方法一:如圖，由題意知的斜率存在且不為零，設(shè)方程為 ①，將①代入，整理，得,設(shè),,則②得 (7分)

令， 則，由此可得 ，

，且．∴

由②知 ，．

∴, (10分)

∵，∴，解得 且 (12分)

又∵， ∴，

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（,1）． (13分)

方法二: 如圖，由題意知l’的斜率存在且不為零，設(shè)l’ 方程為 ①，將①代入，整理，得,設(shè),,則 ② ; (7分)

令， 則，由此可得 ， ，且．

∴ (10分)

∵, ∴,解得 且 (12分)

又∵， ∴，

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（,1）． (13分)

考點：函數(shù)求導(dǎo)；根與系數(shù)的關(guān)系；斜率公式；不等式的解法．