Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：；

（3）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，表示出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，由此即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，列出表格，觀察即可判斷出函數(shù)的最小值，從而證明；

（3）根據(jù)題意，構(gòu)造出函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分情況討論b的取值范圍，當(dāng)b≤0，根據(jù)與0的關(guān)系判斷出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；其次當(dāng)b>0時(shí)，結(jié)合x的范圍判斷出函數(shù)的單調(diào)性，這里要注意當(dāng)x>2時(shí)，根據(jù)b的范圍即、和來判斷的零點(diǎn)，由此即可知的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）． 因?yàn)榍芯�過原點(diǎn)，

所以 ，解得：．

（2）設(shè)，則．

令，解得．

在上變化時(shí)，的變化情況如下表

x	(0,2)	2
	-	0	+

所以 當(dāng) 時(shí)，取得最小值．

所以 當(dāng)時(shí)，，即．

（3）等價(jià)于，等價(jià)于．注意．

令，所以．

（I）當(dāng)時(shí)， ，所以無零點(diǎn)，即在定義域內(nèi)無零點(diǎn)．

（II）當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，而，

又，所以．

又因?yàn)?/span>，其中，

取，表示的整數(shù)部分．所以，，由此．

由零點(diǎn)存在定理知，在上存在唯一零點(diǎn)．

（ii）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值，．

①當(dāng)，即時(shí)，在上不存在零點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)2；

③當(dāng)，即時(shí)，由有，

而，所以在上存在唯一零點(diǎn)；

又因?yàn)?/span>，．

令，其中，，，，

所以，因此在上單調(diào)遞增，從而，

所以在上單調(diào)遞增，因此，

故在上單調(diào)遞增，所以．

由上得，由零點(diǎn)存在定理知，在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．