已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B1,B2是一個(gè)邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點(diǎn)F2,斜率為k(k≠0)的直線與橢圓C相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),直線AE,AF分別交直線x=3于點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為P,記直線PF2的斜率為k′.求證:k•k′為定值.
分析:解:(1)由題意利用菱形和含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得a=2,b=
3
,c=1.即可得到橢圓C的方程.
(2)設(shè)過點(diǎn)F2(1,0)的直線l的方程為:y=k(x-1).設(shè)點(diǎn)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系,.可得直線AE的方程及直線AF的方程,令x=3,得點(diǎn)M,N的坐標(biāo).利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo).即可得到直線PF2的斜率為k′,把根與系數(shù)代入即可得出k•k′為定值.
解答:解:(1)由題意可得a=2,b=
3
,c=1.
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)設(shè)過點(diǎn)F2(1,0)的直線l的方程為:y=k(x-1).
設(shè)點(diǎn)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
,化為(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
顯然△>0,∴x1+x2=
8k2
3+4k2
,x1x2=
4k2-12
3+4k2
(*).
直線AE的方程為y=
y1
x1-2
(x-2)
,直線AF的方程為y=
y2
x2-2
(x-2)

令x=3,得點(diǎn)M(3,
y1
x1-2
)
,N(3,
y2
x2-2
)

∴點(diǎn)P(3,
1
2
(
y1
x1-2
+
y2
x2-2
))

直線PF2的斜率為k′=
1
2
(
y1
x1-2
+
y2
x2-2
)-0
3-1

=
1
4
(
y1
x1-2
+
y2
x2-2
)

=
1
4
y2x1+x2y1-2(y1+y2)
x1x2-2(x1+x2)+4

=
1
4
2kx1x2-3k(x1+x2)+4k
x1x2-2(x1+x2)+4

把(*)代入得k=
1
4
2k•
4k2-12
3+4k2
-3k•
8k2
3+4k2
+4k
4k2-12
3+4k2
-2•
8k2
3+4k2
+4
=-
3
4k

k•k=-
3
4
為定值.
點(diǎn)評:熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的點(diǎn)斜式方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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