Question

11．已知⊙M：（x+1）²+y²=$\frac{49}{4}$的圓心為M，⊙N：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$的圓心為N，一動(dòng)圓M內(nèi)切，與圓N外切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為曲線P與x軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線P交于C，D兩點(diǎn)．若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}$=12，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，焦距為2，實(shí)軸長(zhǎng)為4的橢圓，由此能求出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}=6+\frac{9}{2}≠12$．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則$\left|{\left.{PM}\right|}\right.=\frac{7}{2}-r，\left|{\left.{PN}\right|}\right.=r+\frac{1}{2}$，
兩式相加，得|PM|+|PN|=4＞|MN|，
由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，焦距為2，實(shí)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
∴動(dòng)圓圓心P的軌跡方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，
則$C（{1，\frac{3}{2}}），D（{1，-\frac{3}{2}}），A（{-2，0}），B（{2，0}）$，
則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}=6+\frac{9}{2}≠12$．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（-2，0），B（2，0），
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，消去y，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
則有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$…（6分）
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}=（{x_1}+2，{y_1}）•（2-{x_2}，-{y_2}）+（{x_2}+2，{y_2}）（2-{x_1}，-{y_1}）$
=$8-2{x_1}{x_2}-2{y_1}{y_2}=8-2{x_1}{x_2}-2{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）$
=$8-（2+2{k^2}）{x_1}{x_2}-2{k^2}（{x_1}+{x_2}）-2{k^2}$=$8+\frac{{10{k^2}+24}}{{3+4{k^2}}}$…（10分）
由已知，得$8+\frac{{10{k^2}+24}}{{3+4{k^2}}}=12$，解得$k=±\sqrt{2}$．
故直線l的方程為$y=±\sqrt{2}（x-1）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)圓圓心的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．