Question

3．已知a≥1，曲線f（x）=ax³-$\frac{1}{ax}$在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為k，則k的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得斜率k的最小值．

解答 解：f（x）=ax³-$\frac{1}{ax}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
可得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率k=3a+$\frac{1}{a}$，
k=3a+$\frac{1}{a}$的導(dǎo)數(shù)為3-$\frac{1}{{a}^{2}}$，
由a≥1，可得3-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，則函數(shù)k在[1，+∞）遞增，
可得k的最小值為3+1=4．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查對勾函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．