Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為135°，求
①|(zhì)$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的值；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量數(shù)量積的公式先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|-2，然后根據(jù)向量長(zhǎng)度和向量數(shù)量積的關(guān)系即可求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的值；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），根據(jù)向量垂直轉(zhuǎn)化為（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則建立方程即可求實(shí)數(shù)k的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為135°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos135°=2×$\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=-2，
①|(zhì)$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4-4×（-2）+4×2}$=$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
則（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
即k$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=4k-2+4k-4=0，
即8k=6，k=$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的四則運(yùn)算法則以及向量數(shù)量積與向量長(zhǎng)度，向量垂直的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．