Question

2．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，且f（2）=0，若f（lnx）＞0，則x的取值范圍是$（\frac{1}{{e}^{2}}，{e}^{2}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意、偶函數(shù)的單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化不等式，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出解集．

解答 解：∵f（2）=0，f（lnx）＞0，
∴f（lnx）＞f（2），
∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（lnx）＞f（2）等價于|lnx|＜2，
則-2＜lnx＜2，即lne^-2＜lnx＜lne²，
解得$\frac{1}{{e}^{2}}＜x＜{e}^{2}$，
∴不等式的解集是$（\frac{1}{{e}^{2}}，{e}^{2}）$，
故答案為：$（\frac{1}{{e}^{2}}，{e}^{2}）$．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．