Question

17．已知曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，且滿足x₁x₂+y₁y₂=0．
（1）求m的值；
（2）求直線PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P，Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱．得圓心（-1，3）在直線上，代入得m
（2）設(shè)直線PQ方程為：y=-x+b，代入圓方程并整理得：2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0
由△＞0得：$2-3\sqrt{2}＜b＜2+3\sqrt{2}$，及x₁+x₂=b-4，${x_1}{x_2}=\frac{{{b^2}-6b+1}}{2}$，
由x₁x₂+y₁y₂=0． 解得b=1即可．

解答 解：（1）曲線方程為（x+1）²+（y-3）²=9，表示圓心為（-1，3），半徑為3的圓．
∵點(diǎn)P，Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱．∴圓心（-1，3）在直線上，代入得m=-1…（5分）
（2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直，∴設(shè)直線PQ方程為：y=-x+b，
代入圓方程并整理得：2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0
由△＞0得：$2-3\sqrt{2}＜b＜2+3\sqrt{2}$，
而P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴x₁+x₂=b-4，${x_1}{x_2}=\frac{{{b^2}-6b+1}}{2}$，
∵x₁x₂+y₁y₂=0．∴$2{x_1}{x_2}-b（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$
∴b²-6b+1-b²+4b+b²=0∴b=1，
∴直線PQ的方程為：y=-x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．