Question

13．實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x＞0\\ y≤2\end{array}\right.$，
（1）若z=2x+y，求z的最大值；
（2）若z=x²+y²，求z的取值范圍．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，（1）利用目標函數(shù)的幾何意義求解即可．（2）利用目標函數(shù)的幾何意義，可行域內的點到原點的距離的平方，觀察求解即可、

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x＞0\\ y≤2\end{array}\right.$，
作出可行域如圖中陰影部分所示
（1）z=2x+y令z=0畫出y=-2x，由圖知，$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，可得B（1，2），
當z=2x+y經過點B（1，2）時，z_max=4．
（2）z=x²+y²表示可行域內的任意一點與坐標原點之間的距離的平方．
因此x²+y²的范圍最小為|OA|²（取不到），最大為|OB|²．
$\left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ x=0\end{array}\right.$，得A（0，1），∴|OA|²=（$\sqrt{02+12}$）²=1，|OB|²=（$\sqrt{12+22}$）²=5．
∴z的最大值為5，沒有最小值．故z的取值范圍是（1，5]．

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，畫出可行域以及掌握目標函數(shù)的幾何意義是解題的關鍵，考查轉化思想以及數(shù)形結合思想的應用．