Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（2）設c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即a_n=3a_n-1，a₁=S₁，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．∵由點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，b_n+1-b_n=2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}-\frac{3}{2}）$，
即a_n=3a_n-1，．
∵a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-$\frac{3}{2}$，∴a₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=3ⁿ． 
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，∴b_n=2n-1．
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∵T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）3^n-1+（2n-1）3ⁿ，
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-3）3ⁿ+（2n-1）3ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-2T_n=3+2×（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）3ⁿ⁺¹，
=-6-2（n-1）3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．