Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0）．若|AB|=

4 2

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），可得b=1，根據(jù)離心率得出3a²=4c²以及c²=a²-b²，求出a的值，即可求該橢圓的方程；
（Ⅱ）由A（-2，0），設(shè)B（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

，再由|AB|=

4 2

5

，求出k的值，即可得到直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

3

2

，得3a²=4c²．再由c²=a²-b²，解得a=2b．
因?yàn)闄E圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），
所以b=1，
所以a=2，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
直線l的斜率為k．則直線l的方程為y=k（x+2）．
代入橢圓方程，消去y并整理，得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

．
所以|AB|=

4 1+k2

1+4k2

．
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

，
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=，解得k=±1．
經(jīng)檢驗(yàn)△＞0符合題意，所以直線l的方程為y=±（x+2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱條件，屬于中檔題．