Question

如圖，已知三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分別是PB、PA的中點(diǎn)．
（1）求證：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；
（2）求三棱錐P-CEF的外接球的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AB⊥PC，AB⊥BC，從而AB⊥側(cè)面PBC，由此能證明側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC．
（2）由已知得CE⊥PB，CE⊥EF．從而EF⊥側(cè)面PBC，故EC、EF、EP兩兩垂直，從而三棱錐P-CEF的外接球就是以EC、EF、EP為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，由此能求出三棱錐P-CEF的外接球的表面積．

解答： （1）證明：∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，
又AB⊥BC，則AB⊥側(cè)面PBC，AB?側(cè)面PAB，
故側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC．（6分）
（2）解：∵PC=BC=4，E為PB的中點(diǎn)，∴CE⊥PB，
而側(cè)面PAB垂直側(cè)面PBC于PB，∴CE⊥EF．
由E、F分別是PB、PA的中點(diǎn)有EF∥AB，
則EF⊥側(cè)面PBC．
故EC、EF、EP兩兩垂直，（9分）
三棱錐P-CEF的外接球就是以EC、EF、EP為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，
由已知得EC=EP=2

2

，EF=1，
其外接球的直徑是

8+8+1

=

17

，
故所求三棱錐P-CEF的外接球的表面積是=17π．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC的證明，考查三棱錐P-CEF的外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．