Question

11．在三棱錐P-ABC中，底面ABC為直角三角形，AB=BC，PA⊥平面ABC．
（1）證明：BC⊥PB；
（2）若D為AC的中點，且PA=4，AB=2$\sqrt{2}$，求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥BC，PA⊥BC，由此能證明BC⊥PB．
（2）由V_P-DBC=V_D-PBC，能求出點D到平面PBC的距離．

解答 解：（1）∵△ABC為直角三角形，AB=BC，∴AB⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，BC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB．
（2）由AB=BC，PA=4，$AB=2\sqrt{2}$，
根據已知得$PB=2\sqrt{6}$，
∴${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}BC•PB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{6}=4\sqrt{3}$，
${S_{△DBC}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$，
∴${V_{P-DBC}}=\frac{1}{3}{S_{△DBC}}×PA=\frac{8}{3}$，
設點D到平面PBC的距離為h，
則${V_{D-PBC}}=\frac{h}{3}{S_{△PBC}}=\frac{{4\sqrt{3}h}}{3}$，
∵V_P-DBC=V_D-PBC，∴$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∴點D到平面PBC的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．