Question

9．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定義域?yàn)镽；命題q：不等式$\sqrt{2x+1}$＜1+ax對一切正實(shí)數(shù)均成立，如果命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2]．

Answer 1

分析 p為真?ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0在R上恒成立，推導(dǎo)出a＞2；q為真?a＞$\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$對一切正實(shí)數(shù)x均成立，推導(dǎo)出a≥1．由命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，知p，q一真一假．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定義域?yàn)镽，
∴p為真?ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0在R上恒成立．
當(dāng)a=0時，x＜0，解集不為R
∴a≠0，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{1}{4}{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2．
∴P為真?a＞2．
∵命題q：不等式$\sqrt{2x+1}$＜1+ax對一切正實(shí)數(shù)均成立，
∴q為真?a＞$\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$對一切正實(shí)數(shù)x均成立，
∵x＞0，∴$\sqrt{2x+1}$＞1，∴$\sqrt{2x+1}+1＞2$，
∴$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}$＜1，
∴q為真?a≥1．
∵命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，∴p，q一真一假．
當(dāng)p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，無解；
當(dāng)p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥1}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值的求法，考查對數(shù)函數(shù)、不等式性質(zhì)、復(fù)合命題等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．