Question

17．一矩形的一邊在x軸上，另兩個頂點在函數(shù)y=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$（x＞0）的圖象上，如圖，則此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是（　�。�

• A． π
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 先求出y的范圍，再設(shè)出點AB的坐標，根據(jù)AB兩點的縱坐標相等得到x₂•x₁=1，再求出高h，根據(jù)圓柱體的體積公式得到關(guān)于y的代數(shù)式，最后根據(jù)基本不等式求出體積的最大值．

解答 解：∵y=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}+x}$≤1當且僅當x=1時取等號，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{y}$
∵矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體一個圓柱，
設(shè)A點的坐標為（x₁，y），B點的坐標為（x₂，y），
則圓柱的底面圓的半徑為y，高位h=x₂-x₁，
∵f（x₁）=$\frac{2{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$，f（x₂）=$\frac{2{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$，
∴$\frac{2{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$=$\frac{2{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$，
即（x₂-x₁）（x₂•x₁-1）=0，
∴x₂•x₁=1，
∴h²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）²-4=$\frac{4}{{y}^{2}}$-4，
∴h=2•$\frac{\sqrt{1-{y}^{2}}}{y}$$\sqrt{{y}^{2}（1-{y}^{2}）}$，
∴V_圓柱=πy²•h=2π=2•$\sqrt{{y}^{2}（1-{y}^{2}）}$≤2π•$\frac{1}{2}$（y²+1-y²）=π，當且僅當y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號，
故此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為π，
故選：A

點評 本題主要考查空間幾何體的體積計算，基本的不等式的應(yīng)用，本題求出x₂•x₁=1是關(guān)鍵，屬于中檔題．