Question

8．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的長軸長為$4\sqrt{2}$，點(diǎn)A，B，C在橢圓E上，其中點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn)，直線BC過原點(diǎn)O，點(diǎn)B在第一象限，且|BC|=2|AB|，$cos∠ABC=\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）與x軸不垂直的直線l與圓x²+y²=1相切，且與橢圓E交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，求△MON的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得2a=4$\sqrt{2}$，解得a．由點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn)，直線BC過原點(diǎn)O，點(diǎn)B在第一象限，且|BC|=2|AB|，可得|BO|=|AB|，
又$cos∠ABC=\frac{1}{5}$，|OA|=a=2$\sqrt{2}$，利用余弦定理解得|BO|．可得B$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，代入橢圓方程即可得出．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)直線L的方程為：y=kx+m．與橢圓方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，△＞0，化為8k²+4＞m²．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得則|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．由直線l與圓x²+y²=1相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，化為m²=1+k²，利用S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|，通過換元再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．

解答 解：（I）∵2a=4$\sqrt{2}$，∴a=2$\sqrt{2}$．
∵點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn)，直線BC過原點(diǎn)O，點(diǎn)B在第一象限，且|BC|=2|AB|，
∴|BO|=|AB|，
∵$cos∠ABC=\frac{1}{5}$，|OA|=a=2$\sqrt{2}$，
∴|OA|²=|BO|²+|AB|²-2|BO||AB|cos∠ABO，
∴8=2|BO|²$（1-\frac{1}{5}）$，解得|BO|=$\sqrt{5}$．
∴B$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，代入橢圓方程可得：$\frac{2}{8}+\frac{3}{^{2}}$=1=1，解得b²=4．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為：y=kx+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∵直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，∴△＞0，化為8k²+4＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
則|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{8{k}^{2}-{m}^{2}+4}}{1+2{k}^{2}}$，
∵直線l與圓x²+y²=1相切，∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，化為m²=1+k²，
∴|MN|=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{7{k}^{2}+3}}{1+2{k}^{2}}$，
則S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|×1=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{7{k}^{2}+3}}{1+2{k}^{2}}$，
令1+2k²=t≥1，則k²=$\frac{t-1}{2}$代入上式可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{-（\frac{1}{t}-3）^{2}+16}$，
∵t≥1，∴$0＜\frac{1}{t}≤1$，∴$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜S_△MON≤$\sqrt{6}$．
即△MON的面積的取值范圍是$（\frac{\sqrt{14}}{2}，\sqrt{6}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．