Question

15．如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，四邊形ABCD為菱形，四邊形ADEF為矩形，M，N分別是EF，BC的中點，AB=2AF，∠CBA=
60°．
（1）求證：DM⊥平面MNA；
（2）若三棱錐A-DMN的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由題意可得△ABC為等邊三角形，得到AN⊥BC，進一步有AN⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得AN⊥平面ADEF，得到DM⊥AN，在矩形ADEF中，由已知可得∠AMF=45°，∠DME=45°，得到DM⊥AM，由線面垂直的判定可得DM⊥平面MNA；
（2）設(shè)AF=x，則AB=2AF=2x，求解直角三角形可得$AN=\sqrt{3}x$，把三角形ADN的面積用含有x的代數(shù)式表示，由題意求得FA⊥平面ABCD，則點M到平面ADN的距離為AF=x，由已知棱錐體積列式求得x，再由勾股定理求得MN的長．

解答 （1）證明：連接AC，在菱形ABCD中，∠CBA=60°，且AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
又∵N為BC的中點，∴AN⊥BC，
∵BC∥AD，∴AN⊥AD，
又∵平面ABCD⊥平面ADEF，AN?平面ABCD，
∴AN⊥平面ADEF，又DM?平面ADEF，∴DM⊥AN，
∵在矩形ADEF中，AD=2AF，M為EF的中點，
∴△AMF為等腰直角三角形，得∠AMF=45°，
同理得∠DME=45°，∴∠DMA=90°，則DM⊥AM，
又∵AM∩AN=A，且AM，AN?平面MNA，
∴DM⊥平面MNA；
（2）設(shè)AF=x，則AB=2AF=2x，
在Rt△ABN中，AB=2x，BN=x，∠ABN=60°
∴$AN=\sqrt{3}x$
∴${S_{△ADN}}=\frac{1}{2}×2x×\sqrt{3}x=\sqrt{3}{x^2}$
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AD為交線，F(xiàn)A⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD，
設(shè)h為點M到平面ADN的距離，則h=AF=x，
∴${V_{M-ADN}}=\frac{1}{3}×{S_{△CDF}}×h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}{x^2}×x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^3}$，
∵${V_{M-ADN}}={V_{A-DMN}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，解得x=1．
∴$MN=\sqrt{A{N^2}+A{M^2}}=\sqrt{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．