Question

已知

AB

=（1，x），

AC

=（x+2tanθ，y+1），且

AB

∥

AC

，其中θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）將y表示為x的函數(shù)，并求出函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=f（x）
（2）若y=f（x）在x∈[-1，

3

]上為單調(diào)函數(shù)，求θ的取值范圍；
（3）當(dāng)θ∈[-

π

3

，

π

3

]時(shí)，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值為g（θ），求g（θ）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)解析式的求解及常用方法,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由向量平行坐標(biāo)間的關(guān)系，得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，然后解答本題．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="jntvlrp" class="MathJye">

AB

=（1，x），

AC

=（x+2tanθ，y+1），且

AB

∥

AC

，其中θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
所以y+1=x（x+2tanθ），即y=x²+2tanθx-1；
（2）由（1）可知，y=f（x）在x∈[-1，

3

]上為單調(diào)函數(shù)，即y=x²+2tanθx-1在x∈[-1，

3

]上為單調(diào)函數(shù)；
所以-tanθ≥

3

或者-tanθ≤-1，θ∈（-

π

2

，

π

2

），所以θ∈（-

π

2

，-

π

3

）或者θ∈（

π

4

，

π

2

）．
（3）當(dāng)θ∈[-

π

3

，

π

3

]時(shí)，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值為g（θ），則-tanθ∈（-

3

，

3

），所以當(dāng)對(duì)稱軸x=-tanθ＜-1時(shí)，函數(shù)y=x²+2tanθx-1在x∈[-1，

3

]上為單調(diào)增函數(shù)，所以最小值為g（θ）=f（-1）=2tanθ；當(dāng)x=-tanθ∈[-1，

3

]時(shí)，g（θ）=f（-tanθ）=-tan²θ-1，
所以g（θ）=

2tanθ，- π 3 ≤θ＜- π 4 -tan2θ-1，- π 4 ≤θ≤ π 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量平行的坐標(biāo)關(guān)系以及與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合的求參數(shù)范圍以及解析式的問題，屬于中檔題．