Question

設(shè)f（x）=6cos²x-2

3

sinxcosx
（1）將f（x）化為f（x）=Acos（ωx+ϕ）+K（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜

π

2

）的形式，并求出f（x）的最小正周期；
（2）若銳角α滿足f（α）=3-2

3

，求tanα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式、兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)解析式，再由周期公式求出函數(shù)的周期；
（2）將f（α）=3-2

3

代入解析式化簡(jiǎn)，由銳角α的范圍求出α，再由兩角和的正切公式求出tanα的值．

解答： 解：（1）由題意得，

f(x)= 6(1+cos2x) 2 - 3 sin2x

=

2 3

cos(2x+

π

6

)+3，
所以f（x）的最小正周期是

2π

2

=π；…（5分）
（2）因?yàn)閒（α）=3-2

3

，所以2

3

cos(2x+

π

6

)+3=3-2

3

，
即cos(2x+

π

6

)=-1，
又0＜α＜

π

2

，

π

6

＜2α+

π

6

＜π+

π

6

，
所以2α+

π

6

=π，α=

5π

12

，
則tanα=tan

5π

12

=tan(

π

4

+

π

6

)=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二倍角公式、兩角差的余弦公式、兩角和的正切公式，以及三角函數(shù)的周期，屬于中檔題．