若△ABC滿足
sinB
sinA
=3cos(A+B)，則tanB的最大值是
3
4
3
4
．
分析：由A和B為三角形的內(nèi)角，得到sinA和sinB都大于0，進(jìn)而確定出C為鈍角，利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡已知等式的左邊，得到sinB=-3sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，得到tanC=-4tanA，將tanB利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡為-tan（A+C），利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，將tanC=-4tanA代入，變形后利用基本不等式求出tanB的范圍，即可得到tanB的最大值．
解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，
∴
sinB
sinA
=3cos(A+B)=-3cosC＞0，即cosC＜0，
∴C為鈍角，sinB=-3sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-3sinAcosC，即cosAsinC=-4sinAcosC，
∴tanC=-4tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-
tanA+tanC
1-tanAtanC
=-
-3tanA
1+4tan2A
=
3
1
tanA
+4tanA
≤
3
4
，
當(dāng)且僅當(dāng)
1
tanA
=4tanA，即tanA=
1
2
時(shí)取等號，
則tanB的最大值為
3
4
．
故答案為：
3
4
．
點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（2012•福建模擬）閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cos2A-cos2B=2sin2C，試判斷△ABC的形狀．
（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江門一模）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+
π
3
）-
3
cos（ωx+
π
3
）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（
7π
12
）的值；
（2）若△ABC滿足f（C）+f（B-A）=2f（A），證明：△ABC是直角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足
AB
=(-
3
sinθ，sinθ)，
AC
=(cosθ，sinθ)，
（Ⅰ）若BC邊長等于1，求θ的值（只需寫出（0，2π）內(nèi)的θ值）；
（Ⅱ）若θ恰好等于內(nèi)角A，求此時(shí)內(nèi)角A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+數(shù)學(xué)公式）-數(shù)學(xué)公式cos（ωx+數(shù)學(xué)公式）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（數(shù)學(xué)公式）的值；
（2）若△ABC滿足f（C）+f（B-A）=2f（A），證明：△ABC是直角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年廣東省江門市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+）-cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（）的值；
（2）若△ABC滿足f（C）+f（B-A）=2f（A），證明：△ABC是直角三角形．

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