Question

已知函數(shù)f（x）=

c

x+1

，其中c為常數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象過點（1，

1

2

）．
（1）求c的值；
（2）求函數(shù)g（x）=x+xf（x）的零點；
（3）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是單調遞減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）將（1，

1

2

）代入原函數(shù)式即可求出a的值；
（2）只需解方程g（x）=0即可；
（3）利用單調性的定義證明．

解答： 解：（1）將（1，

1

2

）代入解析式得

1

2

=

c

1+1

，解得c=1．
（2）由（1）知g（x）=x+

x

x+1

．
令g（x）=0得x(1+

1

x+1

)=x•

x+2

x+1

=0．解得x=0或x=-2．
故函數(shù)g（x）的零點為0，-2．
（3）f（x）=

1

x+1

．
任取-1＜x₁＜x₂①，
則f（x₁）-f（x₂）
=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

．
由①得：x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），所以原函數(shù)在（-1，+∞）上為單調遞減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)零點的概念及求法，利用定義證明函數(shù)的單調性的方法．屬于基礎題．