Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax）•e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時，求f（x）取得最小值時x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x₂處取得極小值，分當(dāng)x₂＞0，x₂≤0，兩種情況討論即可

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=[（x²+（a+2）x+a]•e^x，
△=（a+2）²-4a=（a-2）²，≥0，恒成立
令f′（x）=0，解得x₁=

-(a+2)- a2+4

2

，x₂=

-(a+2)+ a2+4

2

，
當(dāng)f′（x）＞0，解得x＞x₂，或x＜x₁，
當(dāng)f′（x）＜0，解得x₁＜x＜x₂，
故函數(shù)f（x）在（-∞，

-(a+2)- a2+4

2

）和（

-(a+2)+ a2+4

2

，+∞）為增函數(shù)，
在（

-(a+2)- a2+4

2

，

-(a+2)+ a2+4

2

）為減函數(shù)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x₂處取得極小值，
當(dāng)x₂＞0，即

-(a+2)+ a2+4

2

＞0，解得a＜0時，x₂∈[0，+∞），則f（x）在x=

-(a+2)+ a2+4

2

處取得極小值，
當(dāng)x₂≤0，解得a≥0時，x₂∈[0，+∞），則f（x）在x=0處取得極小值，
綜上所述，當(dāng)a＜0時，x的值為

-(a+2)+ a2+4

2

，
當(dāng)a≥0時，x的值為0

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系，以及分類討論的思想，屬于中檔題