Question

【題目】設均為大于1的整數(shù), 為n個不超過m的互不相同的正整數(shù),且互素.證明:對任意實數(shù)x,均存在一個，使得,其中表示實數(shù)r到與其最近的整數(shù)的距離。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明兩個引理，

引理1存在整數(shù)滿足，

且

引理1的證明由于由裴蜀定理,知存在整數(shù)滿足

①

下面證明：通過調(diào)整，存在一組滿足式①，且絕對值均不超過m.

記

若則存在

于是，

又均為正數(shù)，故由式①，知

令

則 ②

且

因為

且所以，

又及，故

若，則存在

因此，有一個

令

故式②成立，且

類似地，知

，

且

由于與均為非負整數(shù)，故通過有限次上述的調(diào)整，可得到一組使得式①成立，且

引理2 1.對實數(shù)a、b，均有

2.對任意整數(shù)u和實數(shù)y，均有

引理2的證明，由于對任意整數(shù)u和實數(shù)x，均有，于是，不妨設，此時，。

若，不妨設，則

故。

若ab>0,即a、b同號，

當時，有，此時，

;

當時，總有

則

故1得證。

由1及，知2成立，

引理1、2得證。

由引理1，知存在整數(shù)使得

且，于是

由引理2得

，

因此， ③

若，由式③知

若，則在中存在兩個相鄰正整數(shù)。不妨設相鄰，則

故與中有一個不小于

綜上，總存在一個，滿足。