【題目】已知是橢圓:()與拋物線:的一個(gè)公共點(diǎn),且橢圓與拋物線具有一個(gè)相同的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓及拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)過且互相垂直的兩動(dòng)直線,與橢圓交于兩點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn),求四邊形面積的最小值.
【答案】(Ⅰ)橢圓的方程為,拋物線的方程為;(Ⅱ)見解析.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)是橢圓:()與拋物線:的一個(gè)公共點(diǎn),可求得,從而可得相同的焦點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合,即可求得與,從而可得橢圓及拋物線的方程;(Ⅱ)由題可知直線斜率存在,設(shè)直線的方程,,當(dāng)時(shí),求出,當(dāng)時(shí),直線的方程為,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式求得及,表示出,通過換元及二次函數(shù)思想即可求得四邊形面積的最小值.
(Ⅰ)拋物線:一點(diǎn)
,即拋物線的方程為,
又在橢圓:上
,結(jié)合知(負(fù)舍), ,
橢圓的方程為,拋物線的方程為.
(Ⅱ)由題可知直線斜率存在,設(shè)直線的方程,
①當(dāng)時(shí),,直線的方程,,故
②當(dāng)時(shí),直線的方程為,由得.
由弦長公式知 .
同理可得.
.
令,則,當(dāng)時(shí),,
綜上所述:四邊形面積的最小值為8.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程: (為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程: (為參數(shù)),且直線交曲線于兩點(diǎn).
(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,并求時(shí), 的長度;
(2)巳知點(diǎn),求當(dāng)直線傾斜角變化時(shí), 的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱函數(shù)是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的值域,并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,函數(shù)在上的上界是,求的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題的真假.
(1)過不在平面內(nèi)的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面平行;
(2)過不在平面內(nèi)的一條直線,有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面平行;
(3)給定兩個(gè)平行平面中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線,則在另一個(gè)平面內(nèi)有且只有一條直線與這條直線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求函數(shù)的解析式.
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年,隨著中國第一款5G手機(jī)投入市場,5G技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展階段.已知某5G手機(jī)生產(chǎn)廠家通過數(shù)據(jù)分析,得到如下規(guī)律:每生產(chǎn)手機(jī)萬臺(tái),其總成本為,其中固定成本為800萬元,并且每生產(chǎn)1萬臺(tái)的生產(chǎn)成本為1000萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入萬元滿足
(1)將利潤表示為產(chǎn)量萬臺(tái)的函數(shù);
(2)當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤最大?最大利潤為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)若函數(shù)存在5個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
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