Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知2sin²A+sin²B=sin²C．
（1）若b=2a=4，求△ABC的面積；
（2）若C=$\frac{2π}{3}$，c=$\sqrt{3}$，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得2a²+b²=c²，結(jié)合已知可求c的值，由余弦定理可得cosC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．
（2）由余弦定理可得cosC=$\frac{-{a}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，可求a=b，進(jìn)而結(jié)合已知可求a，b的值，即可計(jì)算得解△ABC的周長(zhǎng)．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵2sin²A+sin²B=sin²C．
∴2a²+b²=c²，
∵b=2a=4，∴c=2$\sqrt{6}$，…2分
∴由余弦定理可得：cosC=-$\frac{1}{4}$，可得：sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，…4分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{15}$…5分
（2）由余弦定理可得：cosC=$\frac{-{a}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，∴a=b，…8分
∴c²=3a²=3，∴a=b=1，…9分
∴△ABC的周長(zhǎng)為2+$\sqrt{3}$．…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．