Question

6．骨質(zhì)疏松癥被稱為“靜悄悄的流行病“，早期的骨質(zhì)疏松癥患者大多數(shù)無明顯的癥狀，針對中學校園的學生在運動中骨折事故頻發(fā)的現(xiàn)狀，教師認為和學生喜歡喝碳酸飲料有關(guān)，為了驗證猜想，學校組織了一個由學生構(gòu)成的興趣小組，聯(lián)合醫(yī)院檢驗科，從高一年級中按分層抽樣的方法抽取50名同學 （常喝碳酸飲料的同學30，不常喝碳酸飲料的同學20），對這50名同學進行骨質(zhì)檢測，檢測情況如表：（單位：人）

	有骨質(zhì)疏松癥狀	無骨質(zhì)疏松癥狀	總計
常喝碳酸飲料的同學	22	8	30
不常喝碳酸飲料的同學	8	12	20
總計	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為骨質(zhì)疏松癥與喝碳酸飲料有關(guān)？
（2）現(xiàn)從常喝碳酸飲料且無骨質(zhì)疏松癥狀的8名同學中任意抽取兩人，對他們今后是否有骨質(zhì)疏松癥狀情況進行全程跟蹤研究，記甲、乙兩同學被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）．
附表及公式．

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算K²的值，即可得到結(jié)論；
（2）X可能取值為0，1，2，求出相應的概率，可得X的分布列及數(shù)學期望E（X）．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值${K^2}=\frac{{50×{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認為骨質(zhì)疏松癥與喝碳酸飲料有關(guān)有關(guān)．）（5分）
（2）由題可知從常喝碳酸飲料且無骨質(zhì)疏松癥狀的8名同學中任意抽取兩人，抽取方法有${C_8}^2=28$種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有${C_6}^2=15$種；恰有一人被抽到有${C_2}^1•{C_6}^1=12$種；兩人都被抽到有${C_2}^2=1$種 （7分）
∴X可能取值為0，1，2，
$P（X=0）=\frac{15}{28}$，$P（X=1）=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，$P（X=2）=\frac{1}{28}$
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

X的分布列為：
∴$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$．（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的閱讀與計算能力，屬于中檔題．